高中数学正弦定理的常用证明方法

正弦定理(The Law of Sines)是三角学中的一个基本定理，它要怎么证明呢?下面小编就带大家一起来详细了解下吧。

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。则有：

一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径(半径的2倍)长度。[1]

公式变形

△ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，直径为D，正弦定理进行变形有

　　定理意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

在解三角形中，有以下的应用领域：

已知三角形的两角与一边，解三角形。

已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。[3]

运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。

　　外接圆证明正弦定理

只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。

1.若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。

∵(特殊角正弦函数值)

∴

2.若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`'交 ⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。

若∠C为锐角，则C'与C落于AB的.同侧，此时∠C'=∠C(同弧所对的圆周角相等)

∴在Rt△ABC'中有

若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。

考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得。

故对任意三角形，定理得证。

　　向量证明

若△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j⊥,则j与的夹角为90°-∠A,j与的夹角为90°-∠C.由向量的加法原则可得

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到

∴|j| || Cos90°+|j| || Cos(90°-C)=|j| ||Cos(90°-A) .

∴asinC=csinA 即

同理,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+∠C,j与的夹角为90°+∠B,可得

若△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与AB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为∠A-90°,j与CB的夹角为90°+∠B.同理

a·Cos(90°-B)=b·Cos(A-90°),

∴asinB=bsinA 即

过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+∠C,j与的夹角为90°+∠B,可得

综上，