简单线性规划教案例题解析

例2(教材本小节例2)

例3某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t．每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过360 t，甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t)，能使利润总额达到最大？

原料/10 g蛋白质/单位铁质/单位

设甲、乙两种原料分别用10x g和10 g，则需要的费用为z＝3x＋2；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x＋7≥35；同理，对铁质的要求可以表示为10x＋4≥40，这样，问题成为在约束条件5x＋7≥35，10x＋4≥40，x≥0，≥0下，求目标函数z＝3x＋2的最小值．

甲乙 合计

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和分钟，总收益为z元．

例3某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？

混合烹调包装

每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多能用30小时，包装的设备至多能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？

已知库房中现有甲、乙两种钢板的数量分别为5张和10张，市场急需A、B两种规格的成品数分别为15块和27块．

(1)问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数，且使所用的钢板张数最少？

(2)若某人对线性规划知识了解不多，而在可行域的整点中随意取出一解，求其恰好取到最优解的概率．

解：设需截甲、乙两种钢板的张数分别为x、，则2x＋≥15，x＋3≥27，0≤x≤5，0≤≤10，

作出可行域如图．

(1)因为目标函数为z＝x＋(x、为整数)，所以在一组平行直线x＋＝t(t为参数)中，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋＝12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解．

(2)因为可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为p＝28＝0.25.

答：两种钢板的张数分别为3、9或4、8，概率为0.25.

二、利润的线性预测

问题：某企业2013年的利润为5万元，2014年的利润为7万元，2015年的利润为8万元．请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预测2017年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万元？

解：建立平面直角坐标系，2013年的利润为5万元，对应的点为A(0,5)，2014年的利润为7万元，2015年的利润为8万元分别对应点B(1,7)和C(2,8)，那么

(1)过A、B两点的直线作为预测直线l1，其方程为＝2x＋5，这样预测2017年的利润为13万元．

(2)过A、C两点的直线作为预测直线l2，其方程为＝32x＋5，这样预测2017年的利润为11万元．

(3)过B、C两点的直线作为预测直线l3，其方程为＝x＋6，这样预测2017年的利润为10万元．

(4)过A及线段BC的中点E(32，152)的直线作为预测直线l4，其方程为＝53x＋5，这样预测2003年的利润约为11.667万元．

(5)过A及△ABC的重心F(1，203)(注：203为3年的`年平均利润)的直线作为预测直线l5，其方程为＝53x＋5，这样预测2017年的利润为11.667万元．

(6)过C及△ABC的重心F(1，203)(注：203为3年的年平均利润)的直线作为预测直线l6，其方程为＝43x＋163，这样预测2017年的利润为10.667万元．

(7)过A及以线段BC的斜率BC＝1作为预测直线斜率，则预测直线l7的方程为＝x＋5，这样预测2017年的利润为9万元．

(8)过B及以线段AC的斜率AC＝32作为预测直线斜率，则预测直线l8的方程为＝32x＋112，这样预测2017年的利润为11.5万元．

(9)过C及以线段AB的斜率AB＝2作为预测直线斜率，则预测直线l9的方程为＝2x＋4，这样预测2017年的利润为12万元．

(10)过A及以线段AB的斜率AB与线段AC的斜率AC的平均数作为预测直线斜率，则预测直线l10的方程为＝74x＋5，这样预测2017年的利润为12万元．

还有其他方案，在此不一一列举．

点评：(1)读完以上的各种预测方案后，请你先思考两个问题：

①第(5)种方案与第(4)种方案的结果完全一致，这是为什么？

②第(7)种方案中，BC的现实意义是什么？

(2)本题可从以下两个方面进一步拓展，其一是根据以上的基本解题思路，提出新的方案，如方案(6)过△ABC的重心F(1，203)，找出以为斜率的直线中与A、C两点距离的平方和最小的直线作为预测直线；其二是根据以上结论及你自己的答案估计利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？