数学指导：圆锥曲线知识分析

数学指导：圆锥曲线知识分析

一、复习目标

1、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质，理解椭圆的参数方程。

2、了解圆锥曲线的简单应用。

二、要点精讲

1、圆锥曲线的统一性

(1)从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和抛线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲线。

(2)从点的集合(或轨迹)的观点看，它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹)，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。

(3)这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的截线，因而才称之为圆锥曲线。

(4)圆锥曲线第二定义把曲线上的点M、焦点F、相应准线l和离心率e四者巧妙地联系起来，所以在圆锥曲线的问题中，凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义。

2、双曲线与椭圆的`联系与区别

(1)双曲线和椭圆的标准方程知识结构相似：①方程形式相似：只一号之别(椭圆是+、双曲线是-②对称性相同：都关于x 轴、y轴、原点对称。

(2)双曲线和椭圆也有明显区别：①双曲线和椭圆的形状是不一样的，双曲线是两条曲线，而椭圆是一条封闭的曲线;②双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线;③双曲线有两顶点，离心率 e1，准线在两顶点之间;而椭圆有四个顶点，离心率0

3、焦半径

圆锥曲线上一点与其焦点的连线段称为这一点的焦半径，下面是用的较多的焦半径公式：

(1)对于椭圆 ( )而言，|PF1|= +ex0，|PF2|= -ex0.

(2)对于双曲线 ( )而言，若点p在右半支上，则|PF1|= +ex0;若点p在左半支上，则|PF1|=-(ex0+ ), |PF2|=-(ex0- )。

(3)对于抛物线y2=2px(p0)而言，|PF |=x0+ .

以上各式中，P(x0 ,y0)是曲线上的一点，F1、F2分别是椭圆、双曲线的左、右焦点，F是抛物线的焦点，在这里特别强调的是，由于曲线方程的不同，焦半径公式也各不相同。

4、几个常用结论

(1)椭圆的焦点三角形：椭上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2组成的三角形称为椭圆的焦点三角形，解决与椭圆焦点三角形有关的问题时，应注意椭圆的定义、正弦和余弦定理的运用。

(2)关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线 y2=2px (p0 )焦点的弦，A(x1 ，y1)、B (x2 ,y2 ) ,直线AB的倾斜角为，则① x1x2= ， y1y2=-p2 ; ② |AB|= ③以AB为直径的圆与准线相切;④焦点F对A、B在准线上射影的张角为900;⑤ .

三、特别提示

1、当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为 =1(m0，n0且mn)，这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式 mx2+ny2=1(mn0)来表示，所不同的是：若方程表示椭圆，则要求m0，n0且m若方程表示双曲线，则要求mn0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论。

2、双曲线是具有渐近线的曲线，复习中要注意以下两个问题：

(1)已知双曲线方程，求它的渐近线方程，将双曲线的标准方程中的常数1换成0，即得 =0，然后分解因式即可得到其渐近线方程 =0;若求中心不在原点，对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程x，y分别配方，然后将常数1换成0，再分解因式，则可得渐近线方程，例如双曲线 =1的渐近线方程为 =0，即y3(x+2)，因此，如果双曲线的方程已经确定，那么它的渐近线方程也就确定了。

(2)求已知渐近线的双曲线方程，已知渐近线方程为 =0时，可设双曲线方程为，再利用其他条件确定 的值，求法的实质是待定系数法，如果已知双曲线的渐近线，双曲线方程却不是惟一确定的。

3、在建立抛物线的标准方程的坐标系时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。